Чи можна надати працівнику соціальну відпустку на дітей за період його мобілізації?

ні, тому що він увільнений від роботи. 
Перепрошую. Не дочитав, що це "за час", а не "під час". Тобто, він служив, демобілізувався, повернувся на роботу. І тепер питання: чи за цей час можна надати? Якщо так, то можна надати. Ця відпустка надається незалежно від часу роботи, лише за фактом перебування в трудових відносинах. А вони тривають, в т.ч. під час мобілізації. Тому він заробляє право на таку відпустку одночасно з мамою. Якщо мама за цей час не використала цю відпустку, батько може скористаттися. Хай надасть довідку з місця роботи матері, що вона не користувалася.